어떤 프로젝트의 원가를 계산하려고 하는데 3점 추정방식으로 하려고 한다.
최빈치는 6, 낙관치는 4, 비관치는 14이다.
삼각분포와 베타분포 추정치, 표준편차, 분산를 계산하시오.
프로젝트 관리에서 불확실성을 고려해 원가를 산정할 때 사용하는 3점 추정(Three-Point Estimation) 방식을 사용합니다.
낙관치 (Optimistic, a): 4
최빈치 (Most Likely, m): 6
비관치 (Pessimistic, b): 14
1. 삼각분포 (Triangular Distribution)
삼각분포는 세 값의 단순 평균을 구하는 방식입니다. 3점추정이라고도 합니다. 모든 시나리오에 비슷한 가중치를 둘 때 사용합니다.
$$E = \frac{a + m + b}{3}$$
계산: $\frac{4 + 6 + 14}{3} = \frac{24}{3}$
결과: 8
2. 베타분포 (Beta Distribution / PERT)
PERT(Program Evaluation and Review Technique) 분석에서 주로 사용되는 방식입니다. 발생 가능성이 가장 높은 '최빈치'에 4배의 가중치를 주어 더 현실적인 예측치를 도출합니다.
$$E = \frac{a + 4m + b}{6}$$
계산: $\frac{4 + (4 \times 6) + 14}{6} = \frac{4 + 24 + 14}{6} = \frac{42}{6}$
결과: 7
비관치(14)가 최빈치(6)에 비해 상당히 높기 때문에, 가중치를 덜 주는 베타분포 값이 삼각분포보다 더 낮게(보수적으로) 측정되었습니다. 보통 실무에서는 통계적으로 더 신뢰도가 높은 베타분포를 더 많이 채택하는 편입니다.
3. 표준편차 (Standard Deviation, σ)
PERT 방식에서 표준편차는 비관치와 낙관치의 차이를 6으로 나누어 구합니다. 이는 전체 범위가 대략 $6\sigma$ 내에 있다고 가정하기 때문입니다.
$$\sigma = \frac{b - a}{6}$$
계산: $\frac{14 - 4}{6} = \frac{10}{6} \approx \mathbf{1.67}$
4. 분산 (Variance, $\sigma^2$)
분산은 표준편차의 제곱입니다.
계산: $1.67^2 \approx \mathbf{2.78}$
5. 신뢰 구간 (Confidence Interval)
베타분포(정규분포 근사)를 따를 때, 실제 원가가 특정 범위 안에 있을 확률은 다음과 같습니다.
68.26% 확률 ($\pm 1\sigma$): $7 \pm 1.67 \rightarrow$ 5.33 ~ 8.67
95.44% 확률 ($\pm 2\sigma$): $7 \pm 3.34 \rightarrow$ 3.66 ~ 10.34
99.73% 확률 ($\pm 3\sigma$): $7 \pm 5.01 \rightarrow$ 1.99 ~ 12.01
[요약]
이 프로젝트의 예상 원가는 7이지만, 약 1.67의 표준편차를 가집니다. 즉, 실제 원가가 5.33에서 8.67 사이에서 발생할 확률이 약 68%라고 이해하시면 됩니다.