Z-score(Z-점수)는 쉽게 말해 "어떤 값이 평균으로부터 표준편차의 몇 배만큼 떨어져 있는가?"를 나타내는 수치입니다. 서로 다른 기준을 가진 데이터들을 동일한 잣대로 비교할 수 있게 해주는 '표준화' 도구라고 이해하시면 됩니다.
1. Z-score 계산 공식
$$Z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$
x : 측정하고 싶은 개별 데이터 값 (관측치)
μ(뮤) : 전체 데이터의 평균
σ(시그마) : 전체 데이터의 표준편차
2. 계산 결과
Z = 0 : 해당 데이터는 정확히 평균과 같습니다.
Z > 0 (양수) : 평균보다 높은 값입니다.
Z < 0 (음수) : 평균보다 낮은 값입니다.
Z = 1: 평균보다 표준편차의 1배만큼 높은 곳에 위치합니다.
3. 예시 (성적 비교)
서로 다른 과목의 성적을 비교할 때 Z-score가 유용합니다.
- 수학 점수: 90점 (평균 70, 표준편차 10)
Z = (90 - 70) / 10 = 2.0 - 영어 점수: 85점 (평균 80, 표준편차 2)
Z = (85 - 80) / 2 = 2.5
점수 자체는 수학(90)이 높지만, Z-score는 영어(2.5)가 더 높습니다. 즉, 영어 시험이 수학보다 더 상대적으로 뛰어난 성적을 거둔 것이라고 판단할 수 있습니다.
4. 6시그마와의 관계
6시그마에서 말하는 '6시그마 수준'이란, 고객이 정한 규격 한계(Spec Limit)에서의 Z-score가 6이 되는 상태를 목표로 한다는 뜻입니다. Z-score를 구한 뒤 표준정규분포표를 찾아보면, 해당 데이터보다 낮은(또는 높은) 데이터가 전체의 몇 %인지 정확한 확률을 계산할 수 있습니다. 예를 들어 Z = 1.65라면 상위 약 5% 이내에 든다는 의미입니다.
5. 감리사 기출문제
[기출 변형 문제] 프로젝트 완료 확률 계산문제
A 프로젝트의 기대 완료 시간(μ)은 20일이고, 표준편차(σ)는 2일이다. 이 프로젝트가 23일 이내에 완료될 확률을 구하시오. (단, 표준정규분포표에서 Z=1.5일 때의 값은 0.9332이다.)
1단계 : Z-score 계산
우리가 확인하고자 하는 값(x)은 23일입니다. 공식에 대입하면 다음과 같습니다.
$$Z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{23 - 20}{2} = \frac{3}{2} = \mathbf{1.5}$$
해석하자면 목표일인 23일은 평균(20일)으로부터 표준편차의 1.5배만큼 떨어져 있다는 뜻입니다
2단계: 확률 확인
표준정규분포표에서 Z=1.5에 해당하는 값은 0.9332입니다. 따라서 이 프로젝트가 23일 이내 끝날 확률은 93.32%입니다.
[핵심 포인트] 감리사 시험에서 자주 묻는 Z-값
시험 문제에 표가 주어지지 않더라도, 아래의 임계값(Critical Value)은 상식처럼 암기해두는 것이 좋습니다.
| 신뢰수준 | Z-score (Zα/2) | 의미 |
| 90% | 1.645 | 오차 범위가 양쪽 5%씩일 때 |
| 95% | 1.96 | 가장 많이 출제되는 기준 (식스시그마 단기 기준은 2) |
| 99% | 2.575 | 매우 높은 신뢰도가 필요할 때 |
[기출문제] 프로젝트 기간계산
PERT(Program Evaluation and Review Technique) 분석에서 주공정 경로(critical path)의 분산이 4.0이고 기대 소요시갂이 20일이다. 프로젝트가 계획된 기갂 내에 완료될 확률이95%가 되려면 프로젝트 기간을 얼마로 계획해야 하는가?
문제에서 주어진 단서를 먼저 정리해 보겠습니다.
- 기대 소요시간(평균, $\mu$) : 20일
- 분산($\sigma^2$) : 4.0 표준편차($\sigma$)는 $\sqrt{4} = 2$
- 목표 확률 : 95%
- 필요한 상수 : 확률 95%에 해당하는 Z-값은 약 1.645입니다.
(통상적으로 감리사 시험에서 단측 검정 95% 확률일 때 Z = 1.645를 사용합니다.)
[단계별 풀이 과정]
1단계: Z-score 공식 세우기
우리가 구하고자 하는 '계획된 프로젝트 기간'을 x라고 할 때, 공식은 다음과 같습니다.
$$Z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$
2단계: 알려진 수치 대입하기
확률이 95%가 되는 지점의 Z값은 1.645입니다. (만약 문제에서 Z값을 1.65나 다른 수치로 제시했다면 그에 따르면 됩니다.)
$$1.645 = \frac{x - 20}{2}$$
3단계: x에 관하여 식 정리하기
양변에 표준편차인 2를 곱합니다.
$$1.645 \times 2 = x - 20$$$$3.29 = x - 20$$
이제 20을 넘겨서 더해줍니다.
$$x = 20 + 3.29 = \mathbf{23.29}$$